求证 (ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(ac+bd)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2)=-(ad-bc)^2≤0
所以(ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)

(ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
a^2c^2+2abcd+b2d^2<=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2
a^2d^2-2abcd+b^2c^2>=0
(ad-bc)^2>=0
得证

证明：左边=a^2c^2+b^2d^2+2abcd
左边=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2
因为右边-左边=a^2d^2+b^2c^2-2abcd=(ad+bc)^2≥0
所以右边≥左边
那么(ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

右边-左边=(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)-(a^2c^2+b^2d^2+2abcd)
=a^2d^2+b^2c^2-2abcd
=(ad-bc)^2>=0
得证

这是柯西不等式

两边拆开，左边=(ac)^2+(bd)^2+2abcd,右边=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2，比较左右两边，证明原式子等于求证 2abcd<=(ad)^2+(bc)^2,（根据x>0,y>0则x^2+y^2>=2xy），则上式可得证